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esde hace tiempo, las ecuaciones diferenciales han sido una parte esencialdel programa de estudio de la mayoría de las disciplinas en ciencias físicas eingeniería en todo el mundo. Los científicos y los ingenieros a menudo estu-dian sistemas que experimentan variaciones, y las ecuaciones diferenciales les per-miten estudiar dichos cambios en las variables claves de un sistema y obtener unacomprensión más profunda de los fenómenos físicos subyacentes. Este libro tieneel propósito de servir como libro de texto para un primer curso sobre ecuaciones di-ferenciales, principalmente para estudiantes de ciencias e ingeniería. Es el resultadode los apuntes de clase desarrollados por el primer autor durante años de enseñarecuaciones diferenciales a estudiantes de ingeniería en la Universidad de Nevada,en Reno; y de tareas hechas en computadora y ejemplos de ingeniería desarrolladospor el segundo autor mientras impartía cursos en la Universidad de Rhode Island.El texto cubre los temas convencionales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias,con un acervo de aplicaciones tomadas de la ingeniería y de las ciencia

en las ciencias y en laingeniería 2
1-2
¿Cómo surgen las ecuaciones diferenciales? 3
1-3
Breve repaso de conceptos básicos 9
Variables dependientes e independientes 9Funciones continuas y discontinuas 10 Derivadas y diferenciales 10 Integración 12
1-4
Clasificación de las ecuaciones diferenciales 14
1-5
Soluciones de ecuaciones diferenciales 17
1-6
Resolución de ecuaciones diferenciales porintegración directa 20
1-7
Introducción a métodos de computadora 25
Graficación de soluciones 26 Integración simbólica 27 Funciones especiales de las matemáticas 28 Integración numérica 29Consideraciones para solucionar una ecuación diferencial por computadora 31
1-8
Resumen 32 Problemas 33
Capítulo 2
Ecuaciones diferencialesde primer orden 39
2-1
Descripción general de las ecuaciones diferencialesde primer orden 40
2-2
Ecuaciones lineales de primer orden 41
Factor de integración 41Caso especial: Ecuaciones con coeficientes constantes ylado derecho constante 43 Existencia y unicidad de las soluciones 44
2-3
Aplicaciones de ecuaciones linealesde primer orden 47
Estimación del tiempo de respuesta con la constante detiempo 49
2-4
Ecuaciones diferenciales no linealesde primer orden 57
2-5
Ecuaciones separables de primer orden 58
Trayectorias ortogonales y ecuaciones diferenciales 66 Transformación de ecuaciones no separablesen separables 66 Ecuaciones diferenciales homogéneas 67
2-6
Ecuaciones diferenciales exactasde primer orden 70
Definición de una ecuación diferencial exacta 71Solución alternativa: método de agrupamiento 74Factores de integración 75
2-7
Métodos gráficos 75
2-8
Planteamiento sistemático para resolver ecuacionesde primer orden 78
2-9
Métodos de computadora para ecuacionesde primer orden 79
Cómo obtener soluciones de forma cerrada 79Cómo generar gráficas de contorno 81Cómo obtener gráficas de campo de direcciones 82
2-10
Resumen 83 Problemas 84
Capítulo 3
Ecuaciones diferenciales linealesde segundo orden 91
3-1
Introducción a las ecuaciones linealesde segundo orden 92
3-2
Independencia lineal y el wronskianode funciones 97
El wronskiano de dos funciones 98 Independencia lineal y el wronskianode n funciones 100
3-3
Teoría de las ecuaciones homogéneas 102
3-4
Reducción de orden 110
3-5
Ecuaciones homogéneas con coeficientesconstantes 112
Caso 1: Raíces reales y desiguales
(
m
1

Z

m
2
)
113Caso 2: Raíces reales e iguales
(
m
1

5

m
2
)
116 Caso 3: Raíces complejas
(
m
1,2

5

a

;

i
b
)
117
3-6
Teoría de las ecuaciones linealesno homogéneas 122
3-7
Ecuaciones no homogéneas: el métodode coeficientes indeterminados 125
Discusión 1 128 Discusión 2 128
3-8
Ecuaciones no homogéneas: el método de variaciónde parámetros 135
3-9
Ecuación de Euler 138

Método alterno de solución 140Caso 1: Raíces reales y desiguales
(
r
1

Z

r
2
)
141Caso 2: Raíces reales e iguales
(
r
1

5

r
2

5

r
)
141Caso 3: Raíces complejas
(
r
1,2

5

a

6

i
b
)
141
3-10
Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundoorden con coeficientes constantes 145
Vibraciones mecánicas 145 Ecuación diferencial de vibraciones mecánicas 146 Caso 1:

c
2

2
4
mk

.
0
(movimientosobreamortiguado)

154Caso 2:

c
2

2
4
mk

5
0
(movimiento críticamenteamortiguado)

154Caso 3:

c

2

2
4
mk

#
0
(movimiento subamortiguado uoscilatorio) 155 Discusión 157 Circuitos eléctricos 158
3-11
Métodos de computadora para ecuaciones linealesde segundo orden 161
Vibraciones forzadas amortiguadas conentrada derivada 162
3-12
Resumen 165 Problemas 167
Capítulo 4
Ecuaciones diferenciales lineales deorden superior 177
4-1
Introducción a las ecuaciones linealesde orden superior 178
4-2
Teoría de las ecuaciones homogéneas 181
4-3
Reducción de orden 183
4-4
Ecuaciones homogéneas con coeficientesconstantes 184
Cómo encontrar las raíces de ecuaciones polinomiales 185Caso especial: Raíces reales enteras 185Cómo construir la solución general 186 Caso 1: Raíces reales y distintas 186 Caso 2: Raíces repetidas 187 Caso 3: Raíces complejas 187
4-5
Teoría de las ecuaciones no homogéneas 192
4-6
Ecuaciones no homogéneas: el métodode coeficientes indeterminados 193
4-7
Ecuaciones no homogéneas: el método de variaciónde parámetros 195
4-8
Ecuación de Euler 199
4-9
Métodos de computadora para ecuacionesde orden superior 201
4-10
Resumen 204 Problemas 205
Capítulo 5
Ecuaciones diferenciales lineales:coeficientes variables 209
5-1
Repaso de series de potencias 210
Cómo desplazar el índice de sumatoria 212Convergencia de series de potencias 214 Derivadas de series de potencias 217
5-2
Introducción a las soluciones por seriesde potencias 219
5-3
Puntos ordinarios contra singulares 226
5-4
Soluciones por serie de potencias alrededor de unpunto ordinario 231
5-5
Ecuación de Legendre y polinomiosde Legendre 238
Polinomios de Legendre 240
5-6
Soluciones por serie alrededor de un puntosingular regular 243
5-7
Ecuación de Bessel y funciones de Bessel 261
Función gamma 270Propiedades de las funciones de Bessel 272Funciones de Bessel modificadas 273
5-8
Métodos de computadora 275
Soluciones con MuPAD
*
275Soluciones con Maple 277 Soluciones con Mathematica 279
5-9
Resumen 280 Problemas 283
Capítulo 6
Sistemas de ecuaciones diferencialeslineales: metodología escalar 287
6-1
Descripción general de sistemas de ecuacionesdiferenciales 288
Sistemas que contienen derivadas de orden superior 289Clasificación de sistemas de ecuaciones 291
6-2
Origen de sistemas de ecuaciones diferenciales 293
6-3
Método de eliminación 295
Método de eliminación para sistemasno homogéneos 299
6-4
Método de valores característicos 301
Términos no homogéneos que son soluciones dela ecuación homogénea relacionada 306 Modos 308
6-5
Métodos de computadora 312
6-6
Resumen 314 Problemas 314
*
MuPAD
®
es una marca registrada de Sciface Software GmbH & Co.
viCONTENIDO


Capítulo 7
Sistemas de ecuaciones diferencialeslineales: método de matrices 319
7-1
Repaso de matrices 320
Propiedades de las matrices 322
7-2
Modelos en forma matricial 329
7-3
Valores característicos y vectorescaracterísticos 334
Operaciones con renglones 335Sistemas homogéneos 341 Independencia lineal de vectores 343Valores característicos y vectores característicos 346 Caso especial: Matriz A con un factor común 352
7-4
Teoría de sistemas de ecuaciones diferencialeslineales 355
Teoría de sistemas lineales homogéneos 357 Teoría de sistemas lineales no homogéneos 361
7-5
Sistemas lineales homogéneos con coeficientesconstantes 362
Caso 1: Valores característicos reales y distintos 364Caso 2: Valores característicos complejos 367 Caso 3: Valores característicos repetidos 372 Discusión

375
7-6
Sistemas lineales no homogéneos 380
Método de coeficientes indeterminados 380Variación de parámetros 383Sistemas no homogéneos de problemasde valor inicial 386
7-7
Formas canónicas y matriz de transición 389
Diagonalización 389 Matriz de transición 396
7-8
Métodos computacionales 400
7-9
Resumen 406 Problemas 408
Capítulo 8
Transformada de Laplace 419
8-1
Transformadas de Laplace de funciones 420
8-2
Existencia de transformadas de Laplace 423
8-3
Propiedades básicas de la transformadade Laplace 425
Propiedad 1: Linealidad de la transformadade Laplace 426 Propiedad 2: Propiedad de translación(o corrimiento) 427 Propiedad 3: Transformada de Laplace de

t
n
f

(
t
)
427 Propiedad 4: Transformada de Laplace de

f

(
t
)
@
t

428Propiedad 5: Transformada de Laplace de


t
0

f
(
t
)
dt

429Propiedad 6: Cambio de escala 429
8-4
Transformadas de Laplace de funciones escalonadas,periódicas y de impulso 430
Función de escalón unitario 430Funciones periódicas 434Funciones de impulso 436
8-5
Transformadas de Laplace de derivadas y ecuacionesdiferenciales 438
Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 440
8-6
Transformada inversa de Laplace 442
Cómo completar polinomios cuadráticos al cuadrado 444
8-7
Fracciones parciales 445
Determinación de constantes arbitrarias 447
8-8
Teorema de convolución 449
8-9
Resolución de ecuaciones diferencialespor transformada de Laplace 451
Solución con condiciones generales en la frontera 455Funciones de transferencia 456
8-10
Resolución de sistemas de ecuaciones diferencialeslineales por transformada de Laplace 457
Funciones de transferencia de sistemasde ecuaciones 460 Matriz de transición 461 Matriz de funciones de transferencia 462Forma matricial del teorema de convolución 463
8-11
Métodos de transformada de Laplace con ayuda de computadora 465
8-12
Resumen 473 Perspectiva histórica 474 Problemas 475
Capítulo 9
Resolución numérica de ecuaciones diferenciales 483
9-1
Integración numérica 484
Método de franjas rectangulares 485 Regla trapezoidal 488 Regla de Simpson 490
9-2
Solución numérica de ecuaciones diferenciales 493
Caso 1:

f

5

f
(
x
)
493Caso 2:

f

5

f
(
x
,
y
)
495
9-3
Método de Euler 496
9-4
Errores en métodos numéricos 499
Error de discretización 500 Error de redondeo 501Control del error 502
9-5
Método de Euler mejorado 504
Caso especial:

f

5

f
(
x
)
507
viiCONTENIDO



9-6
Métodos de la serie de Taylor 508
9-7
Método de Runge-Kutta 511
Caso especial:

f

5

f
(
x
)
514 Runge-Kutta Fehlberg 514
9-8
Métodos de pasos múltiples ypredictores-correctores 515
Métodos predictores-correctores 517
9-9
Sistemas de ecuaciones de primer orden 522
Método de Euler 523 Método clásico de Runge-Kutta 523 Método predictor-corrector de Adams-Moulton 524
9-10
Soluciones numéricas con programascomerciales 527
Programas de resolución MATLAB ODE 527 Ecuaciones diferenciales de orden superior 534Soluciones numéricas con Maple 537 Soluciones numéricas con Mathematica

538Soluciones numéricas con MuPAD 538
9-11
Resumen 540 Perspectiva histórica 542 Problemas 542
Índice analítico 551
viiiCONTENIDO
*
MATLAB
®
es una marca registrada de The MathWorks, Inc.
**
Maple
®
es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc.
†
Mathematica
®
es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.

Enfoque pedagógico
Este libro está concebido como una introducción amistosaa las ecuaciones diferenciales en las ciencias y la ingeniería. Se apoya más en la
intuición
que en el rigor. Se enfatizan los argumentos conceptuales con el objetivode desarrollar un entendimiento intuitivo del tema de que se trata. El texto intentaser
sencillo
y
comprensible
, y fomenta el pensamiento creativo. Los autores consi-deran que los documentos legales tales como los contratos de arrendamiento, queson para gente común, deberían redactarse en español ordinario en vez de escribirseen un lenguaje legal preciso que está más allá de la comprensión de la mayoría delas personas y que necesita la traducción de un abogado. De modo similar, un librode texto sobre ecuaciones diferenciales debe escribirse para que el
estudiante
lo leay lo comprenda. Los profesores no necesitan libros de texto; los alumnos sí. Es co-mún que los estudiantes hojeen un libro de texto de matemáticas solo cuando tratande encontrar un ejemplo similar al problema que se les ha asignado. A menudo sedice que los conceptos matemáticos se deben explicar en lenguaje ordinario paraque dejen una impresión duradera. Debemos ser capaces de explicar a los alumnosque resolver una ecuación diferencial es básicamente una integración, y que estaes básicamente una sumatoria, en vez de usar un lenguaje abstracto en aras de laprecisión y el rigor.El material del texto se introduce a un nivel que un alumno promedio puedeseguir cómodamente. Se dirige a los estudiantes, no por encima de ellos; de hecho,es autodidáctico. Esto permite que el profesor ocupe el tiempo de clase en formamás productiva. Los temas están ordenados de tal manera que fluyen bien en unorden lógico, y cada uno motiva a abordar el siguiente. Se ha tratado, por todos losmedios, de hacer que este sea un texto de matemáticas “legible”, y de fomentar elaprendizaje y la comprensión. El propósito de todo este proyecto ha sido ofrecer unlibro introductorio de ecuaciones diferenciales que los estudiantes lean con interésy entusiasmo en vez de un texto que se usa como guía de referencia para resolve