Para el instructor
Filosofía
La cuarta edición de Cálculo: trascendentes tempranas constituye una revisión sustancial de la
última edición. Aunque en esta edición hay mucho material nuevo, he intentado preservar intacto mi objetivo original de compilar un texto de cálculo que no sea sólo una colección de definiciones y teoremas, habilidades y fórmulas para memorizar, así como problemas para resolver,
sino un libro que se comunique con sus lectores más importantes: los estudiantes. Deseo que
estos cambios hagan más relevante e interesante el texto tanto para el estudiante como para el
profesor.

1 Funciones 1
1.1 Funciones y gráficas 2
1.2 Combinación de funciones 10
1.3 Funciones polinomiales y racionales 20
1.4 Funciones trascendentes 30
1.5 Funciones inversas 37
1.6 Funciones exponencial y logarítmica 48
1.7 De las palabras a las funciones 55
Revisión del capítulo 1 61
2 Límite de una función 67
2.1 Límites: un enfoque informal 68
2.2 Teoremas sobre límites 74
2.3 Continuidad 81
2.4 Límites trigonométricos 88
2.5 Límites que involucran el infinito 94
2.6 Límites: un enfoque formal 103
2.7 El problema de la recta tangente 110
Revisión del capítulo 2 118
00ZillT1(i-xxiv)Prel.qxd 28/10/10 14:30 Página ix
x Contenido
3 La derivada 121
3.1 La derivada 122
3.2 Reglas de potencias y sumas 130
3.3 Reglas de productos y cocientes 138
3.4 Funciones trigonométricas 144
3.5 Regla de la cadena 149
3.6 Diferenciación implícita 156
3.7 Derivadas de funciones inversas 162
3.8 Funciones exponenciales 167
3.9 Funciones logarítmicas 172
3.10 Funciones hiperbólicas 178
Revisión del capítulo 3 186
4 Aplicaciones de la derivada 191
4.1 Movimiento rectilíneo 192
4.2 Razones de cambio relacionadas 196
4.3 Extremos de funciones 204
4.4 Teorema del valor medio 210
4.5 Otro repaso a los límites: regla de L’Hôpital 216
4.6 Gráficas y la primera derivada 224
4.7 Gráficas y la segunda derivada 230
4.8 Optimización 235
4.9 Linealización y diferenciales 247
4.10 Método de Newton 254
Revisión del capítulo 4 260
5 Integrales 267
5.1 La integral indefinida 268
5.2 Integración por sustitución u 276
5.3 El problema de área 286
00ZillT1(i-xxiv)Prel.qxd 28/10/10 14:31 Página x
5.4 La integral definida 295
5.5 Teorema fundamental del cálculo 305
Revisión del capítulo 5 316
6 Aplicaciones de la integral 321
6.1 Otro repaso al movimiento rectilíneo 322
6.2 Otro repaso al área 325
6.3 Volúmenes de sólidos: método de rebanadas 333
6.4 Volúmenes de sólidos: el método de los cascarones 340
6.5 Longitud de una gráfica 345
6.6 Área de una superficie de revolución 348
6.7 Valor medio (promedio) de una función 351
6.8 Trabajo 355
6.9 Presión y fuerza del fluido 362
6.10 Centros de masa y centroides 367
Revisión del capítulo 6 373
7 Técnicas de integración 379
7.1 Integración: tres recursos 380
7.2 Integración por sustitución 382
7.3 Integración por partes 386
7.4 Potencias de funciones trigonométricas 393
7.5 Sustituciones trigonométricas 399
7.6 Fracciones parciales 406
7.7 Integrales impropias 415
7.8 Integración aproximada 423
Revisión del capítulo 7 433
8 Ecuaciones diferenciales
de primer orden 439
8.1 Ecuaciones separables 440
Contenido xi
00ZillT1(i-xxiv)Prel.qxd 28/10/10 14:31 Página xi
8.2 Ecuaciones lineales 445
8.3 Modelos matemáticos 450
8.4 Curvas solución sin solución 459
8.5 Método de Euler 468
Revisión del capítulo 8 471
9 Sucesiones y series 475
9.1 Sucesiones 476
9.2 Sucesiones monótonas 485
9.3 Series 490
9.4 Prueba de la integral 501
9.5 Pruebas de comparación 504
9.6 Pruebas de las proporciones y de la raíz 509
9.7 Series alternantes 512
9.8 Series de potencias 519
9.9 Representación de funciones mediante series de potencias 523
9.10 Serie de Taylor 529
9.11 Serie del binomio 540
Revisión del capítulo 9 544
Apéndice AP-1
Demostraciones de teoremas seleccionados AP-1
Fórmulas matemáticas FM-1
Repaso de álgebra FM-1
Fórmulas de geometría FM-2
Gráficas y funciones FM-4
Revisión de trigonometría FM-5
Funciones exponencial y logarítmica FM-7
Diferenciación FM-8
Fórmulas de integración FM-9
Respuestas de la autoevaluación RES-1
Respuestas de los problemas impares seleccionados RES-2
Índice analítico ÍND-1
Créditos de fotografías C-1

En este texto las ecuaciones diferenciales aparecen en dos capítulos: 8, y 16 (el cual se incluye en el libro Cálculo de varias variables). Las ecuaciones de primer orden se consideran en el
capítulo 8 para beneficio de aquellos estudiantes que encuentren sus aplicaciones en cursos de
física e ingeniería. En el capítulo 16 del libro Cálculo de varias variables se consideran la solución y las aplicaciones de ecuaciones diferenciales de orden superior. Por supuesto, los capítulos 8 y 16 pueden combinarse y cubrirse como una unidad en cualquier punto del curso, una vez
que se haya concluido el capítulo 4. En el apéndice se proporcionan demostraciones de algunos
de los teoremas más largos. Al final de las secciones correspondientes aparecen esbozos biográficos de algunos matemáticos que han impactado de manera importante el desarrollo del cálculo bajo la rúbrica de Posdata: Un poco de historia.
Características especiales Cada capítulo empieza con su propia tabla de contenido y una introducción al material referido en ese capítulo. En la parte final del libro, después del apéndice, el
lector encontrará la sección Fórmulas matemáticas, que constituye una revisión compacta de
conceptos básicos de álgebra, geometría, trigonometría y cálculo: las leyes de los exponentes,
fórmulas de factorización, desarrollos binomiales, triángulo de Pascal, fórmulas de geometría,
gráficas y funciones, funciones trigonométricas, funciones exponenciales y logarítmicas, y fórmulas de diferenciación e integración.
La sección denominada Autoevaluación, que fue introducida en la última edición, consta de
56 reactivos sobre cuatro amplias áreas de precálculo en matemáticas. Esta evaluación intenta
alentar a los estudiantes a revisar por sí mismos algunos de los temas de prerrequisito esenciales,
como valores absolutos, plano cartesiano, ecuaciones de rectas, círculos, etc., que se aplican a lo
largo del texto. En la sección de respuestas se proporcionan las soluciones a todos estos reactivos.
Los usuarios de las tres ediciones previas han sido muy receptivos a las Observaciones con
las que a menudo termina una sección. En consecuencia, el número de éstas ha aumentado y se
les ha denominado Notas desde el aula. Se pretende que estas notas sean análisis informales dirigidos directamente al estudiante. Estos análisis varían desde advertencias sobre errores algebraicos, de procedimiento y de notación comunes, pasando por la interpretación errónea de teoremas
y consejos, hasta preguntas que piden al estudiante pensar en el tema y ampliar las ideas recién
presentadas.
También, a solicitud de los usuarios, se ha incrementado el número de notas al margen y
anotaciones de orientación en los ejemplos.
Figuras, definiciones, teoremas Debido a la gran cantidad de figuras, definiciones y teoremas
que hay en este texto, he cambiado a un sistema de numeración doble decimal. Por ejemplo, la
interpretación de “figura 1.2.3” es
Considero que este tipo de numeración facilita encontrar, por ejemplo, un teorema o una figura
a la que se hace referencia en una sección o en un capítulo posterior. Además, para relacionar
mejor una figura con el texto, la primera referencia textual a cada figura aparece con el mismo
estilo y color de letra que el número de la figura. Por ejemplo, la primera referencia a la primera figura en la sección 7.5 se proporciona como FIGURA 7.5.1, y todas las referencias subsecuentes
se escriben en el estilo tradicional de la figura 7.5.1. También, en esta edición cada figura en el
texto presenta un breve subtítulo explica torio.