ÍNDICE ANALÍTICO
l. INTRODUCCIóN
Parte 1. Introducción histórica
Los dos conceptos básicos del Cálculo
Introducción histórica
El método de exhaución para el área de un segmento de parábola
Ejercicios
Análisis crítico del método de Arquímedes
La introducción al Cálculo que se utiliza en este libro
Parte 2. Conceptos básicos de la teoría/ de conjuntos
Introducción a la teoría de conjuntos
Notaciones para designar conjuntos
Subconjuntos
Reuniones, intersecciones, complementos
Ejercicios
Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema
de números reales
Introducción
Axiomas de cuerpo
Ejercicios
Axiomas de orden
Ejercicios
Números enteros y racionales
Interpretación geométrica de los números reales como puntos
de una recta
Cota superior de un conjunto, elemento máximo, extremo superior
Axioma del extremo superior (axioma de completitud)
XI
1
3
4
9
10
12
13
14
15
17
19
21
22
24
24
26
26
28
28
30
XII
I 3.10
I 3.11
*1 3.12
*1 3.13
*1 3.14
*1 3.15
I 4.1
I 4.2
*1 4.3
I 4.4
*1 4.5
I 4.6
I 4.7
I 4.8
I 4.9
*1 4.10
1.1
1.2
*1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
/ndice analítico
La propiedad arquimediana del sistema de los números reales
Propiedades fundamentales del extremo superior
Ejercicios
Existencia de raíces cuadradas de los números reales no negativos
Raíces de orden superior. Potencias racionales
Representación de los números reales por medio de decimales
Parte 4. Inducción matemática, símbolos
sumatorios y cuestiones relacionadas
Ejemplo de demostración por inducción matemática
El principio de la inducción matemática
El principio de buena ordenación
Ejercicios
Demostración del principio de buena ordenación
El símbolo sumatorio
Ejercicios
Valor absoluto y desigualdad triangular
Ejercicios
Ejercicios varios referentes al método de inducción
1. LOS CONCEPTOS DEL CÁLCULO
INTEGRAL
Las ideas básicas de la Geometría cartesiana
Funciones. Ideas generales y ejemplos
Funciones. Definición formal como conjunto de pares ordenados
Más ejemplos de funciones reales
Ejercicios
El concepto de área como función de conjunto
Ejercicios
Intervalos y conjuntos de ordenadas
Particiones y funciones escalonadas
Suma y producto de funciones escalonadas
Ejercicios
Definición de integral para funciones escalonadas
Propiedades de la integral de una función escalonada
Otras notaciones para las integrales
Ejercicios
La integral de funciones más generales
Integrales superior e inferior
El área de un conjunto de ordenadas expresada como una integral
32
33
34
35
36
37
40
41
42
44
45
46
49
50
53
54
59
61
65
66
69
70
73
74
75
77
78
79
81
85
86
88
91
92
lndice analítico
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
Observaciones relativas a la teoría y técnica de la integración
Funciones monótonas y monótonas a trozos. Definiciones y ejemplos
Integrabilidad de funciones monótonas acotadas
Cálculo de la integral de una función monótona acotada
Cálculo de la integral f~x
P dx siendo p entero positivo
Propiedades fundamentales de la integral
Integración de polinomios
Ejercicios
Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral
2. ALGUNAS APLICACIONES DE LA
INTEGRACIóN
2.1
2.2
Introducción
El área de una región comprendida entre dos gráficas expresada
como una integral
Ejemplos resueltos
Ejercicios
Las funciones trigonométricas
Fórmulas de integración para el seno y el coseno
Descripción geométrica de las funciones seno y coseno
Ejercicios
Coordenadas polares
La integral para el área en coordenadas polares
Ejercicios
Aplicación de la integración al cálculo de volúmenes
Ejercicios
Aplicación de la integración al concepto de trabajo
Ejercicios
Valor medio de una función
Ejercicios
La integral como función del límite superior. Integrales indefinidas
Ejercicios
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
3. FUNCIONES CONTINUAS
3.1 Idea intuitiva de continuidad 155
3.2 Definición de límite de una función 156
3.3 Definición de continuidad de una función 160
3.4 Teoremas fundamentales sobre límites. Otros ejemplos de
funciones continuas 162
3.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre límites 167
XIIl
93
94
95
97
98
99
101
102
104
109
109
111
116
117
121
126
129
133
134
136
137
140
141
144
145
147
148
153
XIV
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
Índice analítico
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
Ejercicios
Funciones compuestas y continuidad
Ejercicios
Teorema de Bolzano para las funciones continuas
Teorema del valor intermedio para funciones continuas
Ejercicios
El proceso de inversión
Propiedades de las funciones que se conservan por la inversión
Inversas de funciones monótonas a trozos
Ejercicios
Teorema de los valores extremos para funciones continuas
Teorema de la continuidad uniforme
Teorema de integrabilidad para funciones continuas
Teoremas del valor medio para funciones continuas
Ejercicios
4. CÁLCULO DIFERENCIAL
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
Introducción histórica
Un problema relativo a velocidad
Derivada de una función
Ejemplos de derivadas
Álgebra de las derivadas
Ejercicios
Interpretación geométrica de la derivada como una pendiente
Otras notaciones para las derivadas
Ejercicios
Regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas
Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variación
ligados y derivación implícita
Ejercicios
Aplicaciones de la derivación a la determinación de los extremos
de las funciones
Teorema del valor medio para derivadas
Ejercicios
Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades
geométricas de las funciones
Criterio de la derivada segunda para los extremos
Trazado de curvas
Ejercicios
Ejemplos resucitas de problemas de extremos
Ejercicios
4.12
4.13
169
172
174
175
177
178
179
180
182
183
184
186
187
189
190
191
192
195
197
201
204
207
209
211
213
216
219
221
224
227
228
230
231
233
234
237
':'4.22
':'4.23
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
':'5 .11
Indice analítico
Derivadas parciales
Ejercicios
5. RELACIóN ENTRE INTEGRACIóN
y DERIVACIóN
5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental
de l cá lculo
Teorema de la derivada nula
Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo
Propiedades de una función deducidas de propiedades de su
derivada
Ejercicios
La notación de Leibniz para las primitivas
1ntegración por sustitución
Ejercicios
1ntcgración por partes
Ejercicios
Ejercicios de repaso
5.2
5.3
5.4
6. F
1
C1\CTóN LOGARITMO, FUNCIÓN
EX POXENCIAL y FUNCIONES
TRIGONOM~TRICASINVERSAS
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
J ntrcducción
Definición del logaritmo natural como integral
Definición de logaritmo. Propiedades fundamentales
Gráfica del logaritmo natural
Consecuencias de la ecuación funcional L(ab) = L(a) + L(b)
Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1
Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen
logaritmos
Derivación logarítmica
Ejercicios
Polinomios de aproximación para el logaritmo
Ejercicios
La función exponencial
Exponenciales expresadas como potencias de e
Definición de e' para x real cualquiera
Definición de a" para a>O y x real
Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen
exponenciales
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
xv
239
245
247
250
250
253
254
257
259
264
266
269
272
277
278
281
282
282
284
286
288
289
291
296
296
2983
6.24
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
*7.7
7.8
7.9
lndice analítico
6.25
6.26
Ejercicios
Funciones hiperbólicas
Ejercicios
Derivadas de funciones inversas
Inversas de las funciones trigonométricas
Ejercicios
Integración por fracciones simples
Integrales que pueden transformarse en integrales de funciones
racionales
Ejercicios
Ejercicios de repaso
304
307
308
308
309
314
316
323
326
328
333
335
337
340
341
342
347
348
350
354
356
357
362
363
366
368
371
8.1 Introducción 373
8.2 Terminología y notación 374
8.3 Ecuación diferencial de primer orden para la función exponencial 376
8.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 377
8.5 Ejercicios 381
7. APROXIMACIóN DE FUNCIONES
POR POLINOMIOS
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
Introducción
Polinomios de Taylor engendrados por una función
Cálculo con polinomios de Taylor
Ejercicios
Fórmula de Taylor con resto
Estimación del error en la fórmula de Taylor
Otras formas de la fórmula de TayIor con resto
Ejercicios
Otras observaciones sobre el error en la fórmula de Taylor. La
notación 0-
Aplicaciones a las formas indeterminadas
Ejercicios
Regla de L'Hópital para la forma indeterminada O/O
Ejercicios
Los símbolos + 00 y - oo , Extensión de la regla de L'Hópital
Límites infinitos
Comportamiento de log x y ea: para valores grandes de x
Ejercicios
8. INTRODUCCIóN A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
8.15
In dice analítico
8.16
Algunos problemas físicos que conducen a ecuaciones diferenciales
de primer orden
Ejercicios
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes
Existencia de soluciones de la ecuación y" +by =O
Reducción de la ecuación general al caso particular y" +by =O
Teorema de unicidad para la ecuación y" +by =O
Solución completa de la ecuación y" +by =O
Solución completa de la ecuación y" +ay' +by =O
Ejercicios
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con
coeficientes constantes
Métodos particulares para la determinación de una solución
particular de la ecuación no homogénea y"+ay' +by =R
Ejercicios
Ejemplos de problemas físicos que conducen a ecuaciones lineales
de segundo orden con coeficientes constantes
Ejercicios
Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales
Curvas integrales y campos direccionales
Ejercicios
Ecuaciones separables de primer orden
Ejercicios
Ecuaciones homogéneas de primer orden
Ejercicios
Algunos problemas físicos y geométricos que conducen a ecuaciones
de 'primer orden
Ejercicios de repaso
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21
8.22
8.23
8.24
8.25
8.26
8.27
8.28
9. NÚMEROS COMPLEJOS
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
Introducción histórica
Definiciones y propiedades
Los números complejos como una extensión de los números reales
La unidad imaginaria i
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Ejercicios
Exponenciales complejas
Funciones complejas
Ejemplos de fórmulas de derivación e integración
Ejercicios
XVII
382
390
394
395
396
397
398
399
401
402
406
408
408
414
416
417
421
422
424
425
429
429
434
437
437
440
441
443
445
446
449
451
453
XVIII lndice analítico
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
*10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
* 10.21
10.22
10.23
10.24
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
11.10
10. SUCESIONES, SERIES, INrrEGRALES
IMPROPIAS
La paradoja de Zenón
Sucesiones
Sucesiones monótonas de números reales
Ejercicios
Series infinitas
Propiedad de linealidad de las series convergentes
Series telescópicas
Serie geométrica
Ejercicios
Ejercicios con expresiones decimales
Criterios de convergencia
Criterios de comparación para series de términos no negativos
El criterio integral
Ejercicios
Criterios de la raíz y del cociente para series de términos no
negativos
Ejercicios
Series alternadas
Convergencia condicional y absoluta
Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel
Ejercicios
Reordenación de series
Ejercicios varios de repaso
Integrales impropias
Ejercicios
11. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
Convergencia puntual de sucesiones de funciones
Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
Convergencia uniforme y continuidad
Convergencia uniforme e integración
Una condición suficiente para la convergencia uniforme
Series de potencias. Círculo de convergencia
Ejercicios
Propiedades de las funciones representadas por series reales de
potencias
Serie de Taylor generada por una función
Condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor
457
462
465
467
469
471
472
474
477
479
480
482
484
486
487
490
492
496
496
499
501
506
508
513
517
519
520
521
522
524
526
528
532
532
11.11
*11.12
11.13
11.14
11.15
11.16
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
12.11
12.12
12.13
12.14
12.15
12.16
12.17
Índice analítico
Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y
trigonométricas
Teorema de Bernstein
Ejercicios
Series de potencias y ecuaciones diferenciales
La serie binómica
Ejercicios
12. ÁLGEBRA VECTORIAL
Introducción histórica
El espacio vectorial de las n-plas de números reales
Interpretación geométrica para n ::;3
Ejercicios
Producto escalar
Longitud o norma de un vector
Ortogonalidad de vectores
Ejercicios
Proyecciones. Ángulo de dos vectores en el espacio de
n dimensiones
Los vectores coordenados unitarios
Ejercicios
Envolvente lineal de un conjunto finito de vecotres
Independencia lineal
Bases
Ejercicios
El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de números complejos
Ejercicios
13. APLICACIONES
DEL ALGEBRA VECrrORIAL
A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
13.1 Introducción
13.2 Rectas en el espacio n-dimensional
13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas
13.4 Rectas y funciones vectoriales
13.5 Ejercicios
13.6 Planos en el espacio euclídeo n-dimensional
13.7 Planos y funciones vectoriales
13.8 Ejercicios
13.9 Producto vectorial
XIX
533
535
536
538
541
542
545
546
549
551
552
554
557
558
559
561
563
565
567
570
571
573
575
577
578
579
581
584
585
589
590
591
xx
13.10
13.11
13.12
13.13
13.14
13.15
13.16
13.17
13.18
13.19
13.20
13.21
13.22
13.23
13.24
13.25
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
14.10
14.11
14.12
14.13
14.14
14.15
14.16
14.17
14.18
14.19
lndice analítico
El producto vectorial expresado en forma de determinante
Ejercicios
Producto mixto
Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones
lineales
Ejercicios
Vectores normales a planos
Ecuaciones lineales cartesianas para planos
Ejercicios
Las secciones cónicas
Excentricidad de las secciones cónicas
Ecuaciones polares de las cónicas
Ejercicios
Cónicas simétricas respecto al origen
Ecuaciones cartesianas de las cónicas
Ejercicios
Ejercicios varios sobre cónicas
14. CÁLCULO CON FUNCIONES
VECTORIALES
Funciones vectoriales de una variable real
Operaciones algebraicas. Componentes
Límites, derivadas e integrales
Ejercicios
Aplicaciones a las curvas. Tangencia
Aplicaciones al movimiento curvilíneo. Vector velocidad, velocidad
y aceleración
Ejercicios
Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a
una curva
Ejercicios
Definición de longitud de un arco
Aditividad de la longitud de arco
Función longitud de arco
Ejercicios
Curvatura de una curva
Ejercicios
Los vectores velocidad y aceleración en coordenadas polares
Movimiento plano con aceleración radial
Coordenadas cilíndricas
Eiercicios
595
597
598
601
602
604
606
607
609
612
614
615
616
618
621
623
627
627
628
632
633
637
641
643
646
648
651
652
655
657
659
660
663
664
665
14.20
14.21
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
15.10
15.11
15.12
15.13
15.14
15.15
15.16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
16.10
16.11
16.12
16.13
16.14
16.15
16.16
In dice analítico
Aplicaciones al movimiento planetario
Ejercicios de repaso
15. ESPACIOS LINEALES
Introducción
Definición de espacio lineal
Ejemplos de espacios lineales
Consecuencias elementales de los axiomas
Ejercicios
Subespacios de un espacio lineal
Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal
Bases y dimensión
Ejercicios
Productos interiores, espacios euclídeos. Normas
Ortogonalidad en un espacio euclídeo
Ejercicios
Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt
Complementos ortogonales. Proyecciones
Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por
elementos de un subespacio de dimensión finita
Ejercicios
16. TRANSFORMACIONES LINEALES
Y MATRICES
Transformaciones lineales
Núcleo y recorrido
Dimensión del núcleo y rango de la transformación
Ejercicios
Operaciones algebraicas con transformaciones lineales
Inversas
Transformaciones lineales uno a uno
Ejercicios
Transformaciones lineales con valores asignados
Representación matricial de las transformaciones lineales
Construcción de una representación matricial en forma diagonal
Ejercicios
Espacios lineales de matrices
Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices
Multiplicación de matrices
Ejercicios
XXI
667
671
675
675
677
679
680
681
683
685
686
687
691
694
696
701
704
706
709
711
712
714
716
718
721
723
725
726
730
732
733
735
736
740
XXII lndice analítico
16.17 Sistemas de ecuaciones lineales
16 .18 Técnicas de cálculo
16.19 Inversas de matrices cuadradas
16.20 Ejercicios
16.21 Ejercicios varios sobre matrices
Soluciones a los ejercicios
Índice alfabético
742
745
750
752
754
757
805

La segunda edición difiere de la primera en muchos aspectos. Se ha añadido
el Álgebra lineal; los teoremas del valor medio y las aplicaciones del Cálculo se
han introducido en los primeros capítulos, y se ha añadido buen número de
nuevos y sencillos ejercicios. Una inspección del índice revela que el libro se ha
dividido en capítulos de menor extensión, desarrollándose cada uno sobre un
concepto importante. Varias secciones han sido escritas de nuevo y reorganizadas
para proporcionar una mejor fundamentación y mejorar la fluidez de las ideas.
Al igual que en la primera edición, cada concepto nuevo importante viene
precedido de una introducción histórica, que describe su desarrollo desde una
primera noción física intuitiva hasta su formulación matemática precisa. El estudiante descubre en parte los esfuerzos del pasado y los triunfos de los hombres
que más han contribuido al tema. De este modo el estudiante se convierte en
participante activo en la evolución de las ideas y no queda como mero observador
pasivo de los resultados.
La segunda edición, como la primera, está dividida en dos volúmenes. Las dos
terceras partes primeras del Volumen 1 tratan del Cálculo con funciones de una
variable, incluyendo las series y una introducción a las ecuaciones diferenciales.
La última tercera parte del Volumen 1 introduce el Álgebra lineal con aplicaciones
a la Geometría y al Análisis. Gran parte de estos temas se apoya sólidamente en
el cálculo de ejemplos que ilustran la teoría general. Ello proporciona una mezcla
de Álgebra y de Análisis y contribuye a preparar el camino para la transición
del Cálculo con una variable al Cálculo con varias variables, que se trata en el
Volumen Il. Un desarrollo más amplio de Álgebra lineal se hará necesario en la
segunda edición del Volumen 11.
Una vez más reconozco con agrado mi deuda con los profesores H. F. Bohnenblust, A. Erdélyi, F. B. Fuller, K. Hoffman, G. Springer, y H. S. Zuckerman.
Su influencia en la primera edición ha continuado en la segunda. En la preparación de la segunda edición, recibí también la ayuda del profesor Basil Gordon,
que sugirió muchas mejoras. Estoy también agradecido a George Springer y
William P. Ziemer, que leyeron las últimas pruebas. El personal de Blaisdell
Publishing Company, como siempre, ha prestado una gran ayuda; aprecio su
simpática aceptación de mis deseos en lo relativo al formato y a la tipografía