A lpha C. Chiang obtuvo su doctorado en la Coiumbia University en 1954, después de completar la licenciatura en 1946 en la Saint John’s University (Shanghai, China) y la maestría en
1948 en la University of Colorado. En 1954 se incorporó a la facultad de la Universidad de
Denison en Ohio, donde asumió la dirección del Departamento de Economía en 1961. De
1964 en adelante dio clases en la Universidad de Connecticut, donde, después de 28 años, se
convirtió en profesor emérito de economía en 1992. Asimismo, impartió cátedras como profesor invitado en el Colegio New Asia de la Universidad de China en Hong Kong, la Universidad de Comell, la Universidad de Lingnan en Hong Kong y la Escuela de Economía y
Administración de Negocios de Helsinki. Sus publicaciones incluyen otro libro de economía
matemática: Elements o f Dynamic Optimization, Waveland Press, Inc., 1992. Ha recibido los
premios de la Fundación Ford y las becas de la Fundación Nacional para las Ciencias, fue presidente electo de la Asociación de Economistas y Científicos Políticos de Ohio, 1963-1964 y
se le menciona en Who ’s Who in Economics: A Biographical Dictionary o f Major Economists
1900-1994, MIT Press.
Kevin W ainw right es miembro del profesorado del British Coiumbia Institute of Technology
en Bumaby, B.C., Canadá. Desde 2001 se ha desempeñado como presidente de la asociación
de profesores y jefe del programa de Administración de Negocios. Realizó sus estudios de
licenciatura en la Universidad Simón Fraser en Bumaby, B.C., Canadá, y continúa enseñando
en el Departamento de Econom

PARTE UNO
INTRODUCCIÓN 1
1 Naturaleza de la economía
matemática 2
2 Modelos económicos 5
PARTE DOS
ANÁLISIS ESTÁTICO
(O DE EQUILIBRIO) 29
3 Análisis de equilibrio en economía 30
4 Modelos lineales y álgebra
de matrices 48
5 Modelos lineales y álgebra de matrices
(continuación) 82
PARTE TRES
ANÁLISIS ESTÁTICO
COMPARATIVO 123
6 Estática comparativa y el concepto de
derivada 124
7 Reglas de diferenciación y su uso en
estática comparativa 148
8 Análisis estático comparativo de modelos
con funciones generales 178
PARTE CUATRO
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 219
9 Optimización: una variedad especial de
análisis de equilibrio 220
10 Funciones exponenciales
y logarítmicas 225
11 El caso de más de una variable
de elección 291
12 Optimización con restricciones de
igualdad 347
13 Temas adicionales de optimización 402
PARTE CINCO
ANÁLISIS DINÁMICO 443
14 La dinámica económica y cálculo
integral 444
15 Tiempo continuo: ecuaciones
diferenciales de primer orden 475
16 Ecuaciones diferenciales de orden
superior 503
17 Tiempo discreto: ecuaciones en
diferencias de primer orden 544
18 Ecuaciones en diferencias de orden
superior 568
19 Ecuaciones diferenciales y ecuaciones en
diferencias simultáneas 592
20 Teoría de control óptimo 631
El alfabeto griego 655
Símbolos matemáticos 656
Breve lista de lecturas 659
Respuestas a ejercicios
seleccionados 662
índice 677

Este libro está escrito para los estudiantes de economía decididos a aprender los métodos matemáticos básicos indispensables para entender las publicaciones de economía actuales. Por
desgracia, estudiar matemáticas es para muchos algo parecido a tomar una medicina amarga,
absolutamente necesaria, pero desagradable en extremo. Tal actitud, conocida como “ansiedad
matemática”, al parecer tiene sus raíces en la manera poco propicia con que se presentan las matemáticas a los estudiantes. Con la creencia de que lo conciso es elegante, las explicaciones
ofrecidas suelen ser tan breves que no ofrecen claridad, de modo que los estudiantes se confunden y les queda una sensación injusta de inadecuación intelectual. Un estilo de presentación
demasiado formal, cuando no va acompañado de ilustraciones o demostraciones intuitivas
pertinentes, puede perjudicar la motivación. Un avance accidentado en el nivel del material
puede hacer que ciertos temas matemáticos parezcan más difíciles de lo que en realidad son.
Por último, los problemas de los ejercicios excesivamente complejos tienden a destrozar la
confianza de los estudiantes, en vez de estimularles el pensamiento.
Con esto en mente, hemos hecho un gran esfuerzo para minimizar los aspectos que causan
preocupación. En la medida de lo posible, ofrecemos explicaciones detalladas, más que crípticas. El estilo es deliberadamente informal y “amigable con el lector”. Por lo general, intentamos prever y contestar preguntas que es probable que surjan en las mentes de los alumnos a
medida que estudian. Con el fin de subrayar la importancia que la matemática tiene para la
economía, dejamos que las necesidades analíticas de los economistas motiven el estudio de las
técnicas matemáticas relacionadas, e inmediatamente después ilustramos estas últimas con
modelos económicos apropiados. Por lo tanto, el juego de herramientas matemáticas se fortalece con un programa cuidadosamente clasificado, donde las herramientas elementales sirven
como peldaños para las más avanzadas que se analizan después. Siempre que sea apropiado,
las ilustraciones gráficas ofrecen un refuerzo visual a los resultados algebraicos. Además,
hemos diseñado los problemas de los ejercicios como medios para ayudar a consolidar la
comprensión y reforzar la confianza, y no como desafíos exactos que podrían frustrar e intimidar de manera inconsciente al estudiante inexperto.
En este libro se tratan los siguientes tipos principales de análisis económico: estática (análisis de equilibrio), estática comparativa, problemas de optimización (como un tipo especial de
estática), dinámica y optimización dinámica. Para enfrentarlos, se introducen a su debido tiempo los siguientes métodos matemáticos: álgebra de matrices, cálculo diferencial e integral,
ecuaciones diferenciales, ecuaciones en diferencias y teoría de control óptimo. Gracias al
número considerable de modelos económicos ilustrativos, tanto de macro como de microeconomía, que aparecen aquí, este libro es útil también para quienes ya cuentan con capacitación
matemática, pero que aún necesitan una guía para llevarlos del reino de las matemáticas al territorio de la economía. Por esta misma razón, el libro no sólo debe servir como texto para un
curso sobre métodos matemáticos, sino también como lectura complementaria en cursos de
teoría microeconómica, teoría macroeconómica y crecimiento y desarrollo económicos.
Se ha intentado conservar los objetivos principales y el estilo de las ediciones anteriores;
sin embargo, esta edición contiene algunos cambios importantes. El material sobre programación matemática se presenta ahora en un nuevo capítulo, el 13, titulado “Temas adicionales
de optimización”. Este capítulo contiene dos temas muy importantes: optimización con restricciones de desigualdad y el teorema de la envolvente. Bajo el primer tema, las condiciones
de Kuhn-Tucker se desarrollan casi de la misma manera que en la edición anterior; sin embargo, el tema se mejoró con algunas nuevas aplicaciones económicas, entre otras la fijación
de precios de carga máxima y el racionamiento del consumidor. El segundo tema se relaciona
con el desarrollo del teorema de la envolvente, la función de valor máximo y el concepto de
dualidad. Al aplicar el teorema de la envolvente a varios modelos económicos se obtienen resultados importantes, como la identidad de Roy, el lema de Shephard y el lema de Hotelling.
La segunda adición importante a esta edición es un nuevo capítulo, el 20, sobre teoría de
control óptimo. Su propósito es introducir al lector en los fundamentos del control óptimo y
demostrar cómo se puede aplicar en la economía con ejemplos de economía de recursos naturales y teoría de crecimiento óptimo. El material de este capítulo se deriva en gran medida del
análisis de la teoría de control óptimo que se encuentra en Elements ofDynamic Optimization,
de Alpha C. Chiang (McGraw-Hill 1992, ahora publicado por Waveland Press, Inc.), que presenta un tratamiento completo del control óptimo y su precursor, el cálculo de variaciones.
Además de los dos nuevos capítulos, hay algunas adiciones importantes y mejoras a esta
edición. En el capítulo 3 se amplió la explicación de cómo resolver ecuaciones polinomiales
de orden superior por factorización (sección 3.3). En el capítulo 4 se agregó una nueva sección
sobre cadenas de Markov (sección 4.7). Y en el capítulo 5 se introdujo la comprobación del
rango de una matriz vía una matriz escalonada (sección 5.1) y la condición de Hawkins-Simon
en relación con el modelo de Leontief de insumo-producto (sección 5.7). Respecto a las aplicaciones económicas, se añadieron muchos ejemplos nuevos y se mejoraron algunas de las
aplicaciones existentes. En la sección 5.6 se incluyó una versión lineal del modelo IS-LM, y
se amplió una forma más general del modelo en la sección 8.6 para abarcar tanto una
economía cerrada como abierta, y demostrar así una aplicación mucho más abundante de estática comparativa para modelos de función general. Otros materiales que se añadieron son la
explicación de la utilidad esperada y las preferencias de riesgo (sección 9.3), un modelo de
maximización de ganancia que incorpora la función de producción de Cobb-Douglas (sección
11.6) y un problema de elección intertemporal de dos periodos (sección 12.3). Por último, los
problemas de los ejercicios se han revisado y aumentado, lo cual ofrece a los estudiantes la
oportunidad de perfeccionar sus habilidades